摘要
在1965年,Djokovi,D.Z提出[1]:设x_0<x_1<…<x_n是n+1个实数,且 f(x;x_0,x_1,…,x_n)=(x-x_0)(x-x_1)…(x-x_n),(1) M=|f(x;x_0,x_1,…,x_n)| (2) φ(x_0,x_1,…,x_n)=1/M Integral form n=(x_0) to (x_n)(f(x;x_0,x_1,…,x_n)dx, (3) 则有不等式: [2]中指出上式应改为 这个不等式至今没有证明,以至Mitrinovi等,将它作为猜想编入《解析不等式》一书中, [3], 本文的目的是否定这个猜想,我们有: 定理1 对n=2,x_0<x_1<x_2,当α_1(x_2-X_0)<x_1-x_0<(1-α_1)(x_2-x_0)(α_1=0.1824879…)时,(4)式成立,当x_1-x_0<α_1(x_2-x_0)或x_1-x_0>(1-α_1)(x_2-x_0)时,(4)不成立,一般说,(4)式是否成立和点x_0<x_1<…<x_n的分布情况有关。 定理2 设x_0<x_1<…<x_n是n+1个等距分布的点。则当n≤6时,(4)式成立,对较大的n,(4)不成立。 定理3 将(3)式改为 φ(x_0,x_1,…,x_n)=1/M Integral from n=α to b(ρ(x)f(x;x_0,x_1,…,x_n)dx其中ρ(x)为非负权函数,设α<x_0<x_1<…<x_n<b是n+1次正交多项式(具有权ρ(x))的零点。则相应的(4)式成立。 总之,对任意分布的x_0<x_1<…<x_n,(4)式是不成立的,只对一些特殊情形,(4)式成立。如定理1,2,3所述。
