摘要
通过变分方法和分析技巧,得到了非二次的椭圆问题{-Δu+a(x)u=f(x,u)u∈Ωu=0u∈Ω(1)的非平凡解的存在性:定理1假设f(x,t)满足如下条件:(f1)F|(xt|,2t)→+∞(|t|→+∞),F|(tx|,2t)0(|t|0)在Ω上一致成立;(f2)存在a1>0,1<s<NN-+22,使得|f(x,t)|≤a1(1+|t|s)对所有的(x,t)∈Ω×R成立;(f3)存在常数β>N2+N2s-1,a2>0,L>0,使得tf(x,t)-2F(x,t)≥a2|t|β对所有的|t|≥L,x∈Ω成立.如果0是-Δ+a的一个特征值(Dirichlet边界条件)且满足条件:(f4)存在δ>0,使得(i)F(x,t)≥0,对所有的|t|≤δ,x∈Ω;或者(ii)F(x,t)≤0,对所有的|t|≤δ,x∈Ω.则问题(1)有至少一个非平凡解.
We study the existence of a nontrivial solution for the Dirichlet problem where Ω is a smooth bounded domainin R^N.
Theorem 1 Assume that f（.r, t） satisfies the following conditions：
（f1）F（x.t,）/｜t｜^2→＋∞ as ｜t｜→＋∞ and F（x,t）｜t｜^2→ 0 as ｜t｜→0 uniformly on Ω.
（f2） There exist a1 〉 0 and 1 〈 s 〈N＋2/N-2 such that ｜ f（x, t） ｜≤ a1 （1 ＋｜ t ｜^s） for all （x, t） ∈ Ω× R.
（f3） There are constants β〉2N/N＋2^s-1, a2〉0 and L〉0 such that tf（x,t）-2F（x,t）≥22｜t｜^β for all ｜t｜≥L and x ∈ Ω.
If 0 is an eigenvalue of -△＋a（ with Dirichlet boundary condition ） and also satisties the condition that;
（f4） There exists δ〉0 such that
（i）F（x,t）≥0,for all ｜t｜≤δ,x∈Ω;or（ii） F（x,t）≤0,for all ｜t｜≤δ,x∈Ω, then problem （1） has at least one nontrivial solution.
出处
《西南大学学报（自然科学版）》
CAS
CSCD
北大核心
2009年第2期14-19,共6页
Journal of Southwest University(Natural Science Edition)
基金
国家自然科学基金资助项目(10771173)
