Let Ω IR^N, （N ≥ 2） be a bounded smooth domain, p is Holder continuous on Ω^-, 1 〈 p^- ：= inf pΩ（x） ≤ p＋ = supp（x） Ω〈∞, and f：Ω^-× IR be a C^1 function with f（x,s） ≥ 0, V （x,s） ∈Ω ...Let Ω IR^N, （N ≥ 2） be a bounded smooth domain, p is Holder continuous on Ω^-, 1 〈 p^- ：= inf pΩ（x） ≤ p＋ = supp（x） Ω〈∞, and f：Ω^-× IR be a C^1 function with f（x,s） ≥ 0, V （x,s） ∈Ω × R^＋ and sup ∈Ωf（x,s） ≤ C（1＋s）^q（x）, Vs∈IR^＋,Vx∈Ω for some 0〈q（x） ∈C（Ω^-） satisfying 1 〈p（x） 〈q（x） ≤p^＊ （x） -1, Vx ∈Ω ^- and 1 〈 p^- ≤ p^＋ ≤ q- ≤ q＋. As usual, p＊ （x） = Np（x）/N-p（x） if p（x） 〈 N and p^＊ （x） = ∞- if p（x） if p（x） 〉 N. Consider the functional I： W0^1,p（x） （Ω） →IR defined as I（u） def= ∫Ω1/p（x）｜△｜^p（x）dx-∫ΩF（x,u^＋）dx,Vu∈W0^1,p（x）（Ω）,where F （x, u） = ∫0^s f （x,s） ds. Theorem 1.1 proves that if u0 ∈ C^1 （Ω^-） is a local minimum of I in the C1 （Ω^-） ∩C0 （Ω^-）） topology, then it is also a local minimum in W0^1,p（x） （Ω）） topology. This result is useful for proving multiple solutions to the associated Euler-lagrange equation （P） defined below.展开更多
文摘Let Ω IR^N, （N ≥ 2） be a bounded smooth domain, p is Holder continuous on Ω^-, 1 〈 p^- ：= inf pΩ（x） ≤ p＋ = supp（x） Ω〈∞, and f：Ω^-× IR be a C^1 function with f（x,s） ≥ 0, V （x,s） ∈Ω × R^＋ and sup ∈Ωf（x,s） ≤ C（1＋s）^q（x）, Vs∈IR^＋,Vx∈Ω for some 0〈q（x） ∈C（Ω^-） satisfying 1 〈p（x） 〈q（x） ≤p^＊ （x） -1, Vx ∈Ω ^- and 1 〈 p^- ≤ p^＋ ≤ q- ≤ q＋. As usual, p＊ （x） = Np（x）/N-p（x） if p（x） 〈 N and p^＊ （x） = ∞- if p（x） if p（x） 〉 N. Consider the functional I： W0^1,p（x） （Ω） →IR defined as I（u） def= ∫Ω1/p（x）｜△｜^p（x）dx-∫ΩF（x,u^＋）dx,Vu∈W0^1,p（x）（Ω）,where F （x, u） = ∫0^s f （x,s） ds. Theorem 1.1 proves that if u0 ∈ C^1 （Ω^-） is a local minimum of I in the C1 （Ω^-） ∩C0 （Ω^-）） topology, then it is also a local minimum in W0^1,p（x） （Ω）） topology. This result is useful for proving multiple solutions to the associated Euler-lagrange equation （P） defined below.
